Donde se produce el caos.

El caos, como se mencionó en “2.2 Carnaval de Matemáticas – Teoría del Caos“ se refiere a cómo algo evoluciona con el tiempo. El espacio o distancia pueden tomar el lugar del tiempo en muchas instancias. Por esa razón, algunas personas hacen la distinción entre “Caos Temporal” y “Caos Espacial”.

¿Qué tipo de procesos en el mundo son susceptibles al caos? En pocas palabras, el caos ocurre solo en sistemas deterministas, no lineales y dinámicos. Basados en estos calificativos, se entiende que una definición imperfecta pero razonable del caos sería:

            El caos es una evolución a largo plazo sostenida y desordenada que satisface ciertos criterios matemáticos espaciales y que se produce en un sistema no lineal determinista.

La Teoríadel Caos son los principios y las operaciones matemáticas del caos subyacente.

No Linealidad

No lineal significa que lo que sale no es directamente proporcional a lo que ingresa, o que un cambio en una variable no produce un cambio proporcional o de reacción en la (s) variable (s) relacionada (s). Dicho en otras palabras, los valores de un sistema en un determinado momento, no son proporcionales a los valores del mismo sistema en un momento anterior. Una definición alterna es que ‘no lineal’ se refiere a algo que no es lineal, tal como se define a continuación. Hay definiciones matemáticas más formales, rígidas y quizá complejas, pero no se utilizará una con tanto detalle (De hecho, aunque el significado de “No Lineal” es claro de forma intuitiva, los expertos no han llegado a una definición aceptada por todos. Curiosamente, lo mismo puede decirse de otros términos comunes en matemáticas como ‘número’, ‘sistema’, ‘punto’, ‘infinito’, ‘azar’ y desde luego ‘caos’). Una ecuación no lineal es aquella que involucra dos variables, digamos, X e Y, y dos coeficientes, por ejemplo, a y b, por lo que no traza una línea recta en papel cuadriculado ordinario.

Un ejemplo sencillo es la congelación del agua. A temperaturas superiores a0 °C, no pasa nada, pero, a esa temperatura o por debajo de ese umbral, el agua se congela. Lo que trato de explicar es que, una relación no lineal describe una curva, en lugar de un umbral o una relación de línea recta.

La mayoría se siente incómodo con las ecuaciones no lineales. Una ecuación lineal tiene la forma Y=c+bX. Esto traza una línea recta. Por otra parte, de trata de una ecuación en la que las variables son directamente proporcionales, lo que significa que no hay una variable elevada a una potencia que no sea 1 (Uno). Algunas de las razones por las que una relación lineal es atractiva son:

• La ecuación es fácil.
• Se está más familiarizado y cómodo con la ecuación.
• La extrapolación de la línea es simple.
• La comparación con otras relaciones lineales es fácil y comprensible.
• Existen muchos paquetes de software comercial que ofrecen amplios análisis estadísticos.

Las matemáticas clásicas no son capaces de analizar la no linealidad de forma efectiva, por lo que las aproximaciones lineales de las curvas se convirtieron en el estándar. La mayoría de la gente, tiene una fuerte preferencia por las líneas rectas, y por lo general, tratan de transformar los datos no lineales en relaciones lineales (Por ejemplo, tomando logaritmos de los datos – Transformar los datos significa cambiar su descripción numérica o su escala de medición). Sin embargo, eso es más una conveniencia gráfica o analítica, o mejor dicho, un truco. No altera la no linealidad básica de los procesos físicos. Incluso cuando no transforman los datos, a menudo ‘trazan’ una línea recta entre los puntos, que en realidad son para una curva. Esto lo hacen por dos razones, o no se dan cuenta de que es una curva, o están dispuestos a aceptar una aproximación lineal.

Campbell menciona tres formas en las cuales los fenómenos lineales y no lineales difieren uno de otro:

• Comportamiento a través del tiempo. Los procesos lineales son tersos y regulares, mientras que los no lineales pueden ser regulares al principio, pero a menudo cambian a un aspecto errático.
• Respuesta a pequeños cambios en el medio ambiente o a estímulos. En un proceso lineal, los cambios tranquilos y en proporción a los estímulos, por el contrario, la respuesta de un sistema no lineal es a menudo mucho mayor que el estímulo.
• Persistencia de pulsos locales. Los pulsos en un sistema lineal decaen e incluso pueden morir con el tiempo. En sistemas no lineales, pueden ser muy coherentes y persistir por largos periodos de tiempo, quizás por siempre.

Echemos un vistazo a nuestro alrededor, es suficiente para que observemos que la naturaleza no utiliza líneas rectas. De la misma forma, los procesos no tienden a ser lineales. En la actualidad, hay quienes afirman que muchas acciones (Posiblemente la mayoría) de las acciones a través del tiempo son no lineales.

James Murray afirma que “Si un modelo matemático para cualquier fenómeno biológico es lineal, es casi seguro que carece de importancia desde un punto de vista biológico”. Fokas dice: “Las leyes que gobiernan a la mayoría de los fenómenos que pueden ser estudiados por las ciencias físicas, la ingeniería y las ciencias sociales son, por supuesto, no lineales”. Fisher comenta que los movimientos no lineales constituyen y por mucho, la clase más común de objetos en el Universo. Briggs y Peat nos dicen que los sistemas lineales parecen ser casi la excepción de la regla y se refieren a un “Cuadro cada vez más afilado de no linealidad universal”. De forma aún más radical, Morrisondice simplemente: “Los sistemas lineales no existen en la naturaleza”. Se le atribuye a Stanislaw Ulam el comentario de que usar el término “No Lineal” es como referirse a la mayor parte de la zoología como el estudio de los animales ‘no elefantes’.

Dinámica

La palabra dinámica implica fuerza, energía, movimiento o cambio. Un sistema dinámico es aquel que se mueve, cambia o evoluciona con el tiempo. Por lo tanto, el caos concuerda en lo que los expertos se refieren como la teoría de sistemas dinámicos (El estudio de los fenómenos que varían con el tiempo) o la dinámica no lineal (El estudio del movimiento no lineal o de la evolución).

El movimiento y el cambio nos rodean, todos los días. Independientemente de nuestra especialidad, estamos interesados en la comprensión de ese movimiento. También nos gusta intentar predecir como se comportará algo a largo plazo y su resultado final.

Los sistemas dinámicos se dividen en dos categorías, dependiendo si el sistema pierde energía. Un sistema dinámico conservador, no tiene fricción, no pierde energía a través del tiempo. En contraste, un sistema dinámico disipativo, tiene fricción, pierde energía a través del tiempo y por lo tanto, siempre se acerca alguna condición o limitación asintótica. Ese estado asintótico o limitado, bajo ciertas condiciones, es donde se produce el caos, así que, por ello, estos serán los sistemas de los que platicaremos.

Los fenómenos ocurren en el tiempo de dos maneras. Una es a intervalos discretos (Por separado o distintos). Ejemplos de este tipo son los terremotos, tormentas y erupciones volcánicas. La otra es de forma continua (La temperatura y humedad del aire, el flujo de agua en los ríos, etc.). Los intervalos discretos se pueden colocar de manera uniforme o de forma irregular en el tiempo. Los fenómenos continuos pueden medirse continuamente, por ejemplo, el rastro de un lápiz desplazándose lentamente. Alternativamente, podríamos medir intervalos discretos. Por ejemplo, podemos medir la temperatura del aire una vez cada hora, durante varios días o años.

Se aplican tipos especiales de ecuaciones a cada una de las maneras en que los fenómenos ocurren con el tiempo. Las ecuaciones para los cambios discretos son ecuaciones de diferencias y son resueltas por iteraciones. En contraste, aquellas para los cambios continuos son con ecuaciones diferenciales.

Vemos con frecuencia el término “Flujo” en las ecuaciones diferenciales. Para algunos autores, el flujo es un sistema de ecuaciones diferenciales, para otros, es la solución de las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales son a menudo la forma matemática más precisa para describir una evolución continua suave. Sin embargo, algunas de esas ecuaciones son difíciles o prácticamente imposibles de resolver. Por el contrario, las ecuaciones de diferencia por lo general son resueltas de inmediato. Además, son con frecuencia aproximaciones aceptables de las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el crecimiento de un bebé es continuo, pero las mediciones tomadas a intervalos pueden aproximarse de forma adecuada. Es decir, se trata de un desarrollo continuo que se puede representar adecuadamente y analizar convenientemente en una base de tiempo discreta. De hecho, Olsen y Degn dicen que las ecuaciones de diferencia son el vehículo más poderoso para la comprensión del caos. El proceso físico que subyace a esas observaciones discretas, puede ser discreto o continuo.

La iteración es una forma matemática de simulación de la evolución discreta en el tiempo. Iterar significa repetir la operación una y otra vez. En el caos, usualmente significa resolver o aplicar la misma ecuación en repetidas ocasiones, a menudo con el resultado de una solución retroalimentada en la siguiente ecuación. Se trata de un método estándar para analizar las actividades que se realizan en intervalos iguales de tiempo discreto o continuo, pero cuyas ecuaciones no se pueden resolver con exactitud, por lo que tiene que conformarse con sucesivas aproximaciones discretas (Por ejemplo, el comportamiento a través del tiempo de materiales y fluidos).

La iteración es la contraparte matemática de la retroalimentación. La retroalimentación, por lo general, es una respuesta a algo que se envió. En matemáticas se traduce como “Lo que sale, vuelve otra vez”. Esto que sale y regresa sirve como entrada. En procesos temporales, la retroalimentación es parte del pasado que influye en el presente, o qué parte del presente influye en el futuro. La retroalimentación positiva amplifica o acelera la salida. Esto provoca que se amplifique un evento a través del tiempo. Una retroalimentación negativa amortigua o inhibe la salida, o causa que un evento se desvanezca con el tiempo. Esta retroalimentación se muestra en el clima, la biología, la ingeniería eléctrica y probablemente, en la mayoría de los otros campos en los cuales los procesos son continuos a través del tiempo.

El marco de tiempo sobre el cual, el caos puede ocurrir puede ser tan corto como una fracción de segundo. En el otro extremo, puede durar varios cientos de miles de años, tal como del Pleistoceno hasta la fecha.

Esta entrada participa en la edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas.

Referencias:

Chaos and order in non-integrable model field theories

David K. Campbell

Pattern Selection in Biological Pattern Formation Mechanisms

D.E. Bentil and J. D. Murray

Chaos: The Ultimate Assimetry

Arthur Fisher

Chaos and the Dynamics of Biological Populations

R. M. May

Complejidad Y Caos: Una Exploración Antropológica

Carlos Reynoso